第7回

信号処理

スライドは第6回・17枚目から

4.4 離散時間システムの周波数特性

4.4.1 システムの正弦波応答

y(n)=h(n)\ast e^{jn\omega T}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k)e^{j(n-k)\omega T}\\ =\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k)e^{jk\omega T}\right]e^{jn\omega T} \\ =H(e^{j\omega T})e^{jn\omega T}

4.4.2 周波数特性

周波数特性はωT＝Ωとすれば
　H(\Omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k)e^{jk\Omega}
によって定義される。

振幅特性と位相特性：H(\Omega)=A(\Omega)e^{j\phi(\Omega)}
群遅延特性：\tau(\Omega)=-\frac{d\phi(\Omega)}{d\Omega}
幾何学的表現

  • 振幅特性は、Ω（単位円上の点）から各零点までの距離の積／Ω（単位円上の点）から各極までの距離の積
  • 位相特性は、(N-M)Ω+(各零点からの偏角の総和)-(各極からの偏角の総和)
4.4.3 周波数特性の例

FIRシステム H(z)=1+z^(-1)+z^(-2)+…+z^(-N+1)
H(\Omega)=\sum_{k=0}^{N-1}h(k)e^{jk\Omega}=\frac{\sin(N\Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}e^{-j(N-1)\Omega/2}