確率の復習

3囚人の問題

Ω(A)=Aが釈放されること
X(B)=看守が「Bは処刑される」と答えること
P(Ω(A))＝P(Ω(B))＝P(Ω(C))＝1/3

(1) Aが釈放される→BとCが処刑される。
(2) Bが釈放される→AとCが処刑される。
(3) Cが釈放される→AとBが処刑される。

P(X(B)|Ω(A))=1/2,P(X(B)|Ω(B))=0,P(X(B)|Ω(C))=1なので
ベイズの定理より

つまり、情報を聞くことにより以下のように変化した。
P(Ω(A)|X(B))=1/3
P(Ω(B)|X(B))=0
P(Ω(C)|X(B))=2/3

もし
P(Ω(A))＝P(Ω(B))＝1/4
P(Ω(C))＝1/2
だった場合、Bが処刑されるという事実を知った場合
P(Ω(A)|X(B))=1/5になる。（より死ぬ確率が高くなる。）

モンティホールジレンマ

http://www.dd.iij4u.or.jp/~okuyamak/Information/Monty-Hole-Dilemma.html
若干嘘が書いてあるけれども気にしない。
最初に選んだ扉の確率が変化しないのは、事前確率が等確率であるためである。上で示したように、事前確率が等確率でなければ確率は変化する。