常微分方程式 - 講義ノート

微分方程式を差分方程式に変換して解く
$f'(a)\rightarrow \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
h→0とすれば誤差→0となる。
hが小さくなるに従って誤差が急激に小さくなるような差分方程式は性能が良いといえる。

差分商

前進差分商:{f(a+h)-f(a)}/h
後退差分商:{f(a)-f(a-h)}/h
中心差分商:{f(a+h/2)-f(a-h/2)}/h

2階微分の差分化

前進差分を2階にすると
$f"(a)=\frac{1}{h^2} \left\{ f(a+2h) - 2f(a+h) - f(a) \right\}$
前進差分＆後退差分
$f"(a)=\frac{1}{h^2} \left\{ f(a+h) - 2f(a) + f(a-h) \right\}$

オイラー法

$\frac{1}{\delta t} \left\{ y(t+\delta t) - y(t) \right\} = f(t,y)$
これを漸化式として解く
$y(0)=a$
$y(\delta t) = y(0) + \delta t f(t,y(0))$

ホイン法

区間の始点と終点の傾きの平均
$Y_{i+1}=Y_i+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\delta t$
$\left\{ \begin{array} k_1 &=& f(t_i,Y_i) \\ k_2 &=& f(t_i+\delta t,Y_i+k_1\delta t) \end{array} \right$
精度が改善される。

ルンゲ・クッタ法

区間を分割し、中間の点での予測も使う

精度

オイラー法　 O(Δt)
ホイン法　 O(Δt^2)
ルンゲクッタ法　O(Δt^4)