復習 差分方程式で解く オイラー法 ホイン法 ルンゲクッタ法 漸化式に変形 2階の常微分方程式 →連立1階常微分方程式として解く これよりオイラー法で差分化すると ルンゲクッタ法で差分化すると →高精度化 初期値問題と境界値問題 →2つの定数を決める。 初期…

微分方程式を差分方程式に変換して解く h→0とすれば誤差→0となる。 hが小さくなるに従って誤差が急激に小さくなるような差分方程式は性能が良いといえる。 差分商 前進差分商:{f(a+h)-f(a)}/h 後退差分商:{f(a)-f(a-h)}/h 中心差分商:{f(a+h/2)-f(a-h/2)}/h …

共分散行列の固有ベクトルは主軸に対応する。 行列の固有値を求める 数値計算的な解法 任意のベクトルx(0)を持ってくる でk→∞とする。 (方向が)収束したxに対して 任意のiについて*1 （単位ベクトル化により） レイリー商 Aが実対称行列→固有値は実数 内積を…

SOR法（Succesive Over-Relaxation Method） ω：加速係数（ω=1：ガウズ・ザイデル法）：一般に1〜2の値 ガウス・ザイデル法の数倍の速さで収束する SORの意味 ガウス・ザイデル法では下のようであった。 上の方の式より、 上式の左辺はx1のk+1回目とk回目の…

LU分解 http://www.fuka.info.waseda.ac.jp/~kozo/suuchi/simple_equation/simple_equation_3.html 計算量 LU分解 O(n^3) 代入 (n^2) ヤコビ法 http://www2.ee.knct.ac.jp/el/E4/H15-E406/hanpuku.html 計算法は略。単純 収束性の必要十分条件 において、Bの…

連立一次方程式 計算方法 直接法（消去法）変数をひとつずつ消す ガウスの消去法 LU分解法 反復法：繰り返し演算により解を収束させる。 ヤコビ法 ガウス・ザイデル法 SOR法

台形公式(続き) 台形公式の誤差 F(x):2点に対してラグランジュ補間の1次多項式近似をしている。 補間の誤差公式 より 誤差→ 台形公式の計算順序 終了条件：Nを増やす→解が収束→終了 （Nを先に決めないと計算できないようなアルゴリズムでは良いアルゴリズム…

例）確率密度関数の積分が確率になる。 計算が大変 区分求積法 積分の定義に基づいた方法 定義： 台形公式 短冊よりも台形のほうがイイだろうという発想。

最少2乗法 実験データの曲線フィッティングなどに用いられる。 定式化が容易である。 直観に合う（2乗和＝分散を最小にする⇒標準偏差を最小にする） 2乗誤差の最小値⇒2乗した合計を微分すると1次の式になるので計算が容易。3.44式は重要ぽ

ラグランジュ補間 復習 N+1の点→N次の多項式 ラグランジュ補間の誤差 を満たすξが存在する。 ルンゲの現象 高次のラグランジュ補間を行うと、x=±1の付近で誤差が発散する。 高次のラグランジュ補間は避けよう スプライン補間 ラグランジュ補間の問題点 点数…

ニュートン法 方程式の反復法による解法のひとつ 以下の漸化式を解く（ホワイトボードには斬化式と書いてある…） 例題 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)について解く f'(x)=3x^2-12x+11やったことにした 計算量 P次収束（1次収束、2次収束） 誤差：εn=xn-α について …1…