講義ノート

3章曲線の推定

数値解析

ラグランジュ補間復習

N+1の点→N次の多項式
$P_N (x)=a_0 +a_1 x + ... + a_N x^N$

ラグランジュ補間の誤差

$f(x)-P_N(x)=\frac{f^{(N+1)} (\xi)}{(N+1)!}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_N)$
を満たすξが存在する。

ルンゲの現象

高次のラグランジュ補間を行うと、x=±1の付近で誤差が発散する。
高次のラグランジュ補間は避けよう

スプライン補間

ラグランジュ補間の問題点

点数が大→次数大→振動
区分的ラグランジュ→スムーズでない

以上の問題点を（見た目はわからないように）解消した

３次スプライン補間

点を通る
区分的
３次曲線
１階微分、２階微分が連続

(3.17)式は、次の区間の関数を参照しているため、最後の区間の定義ができていない。
区間数Nならば4×N個の変数を決めなくてはならない。

点を通るという条件より、2Nの制約ができる。
微分により、S_{N-1}を決めるのにS_{N}がない状態があるので、2(N-1)の制約ができる。

→2つ足らない。
両端の2階微分を0（S0"(x0)=0,S_{N-1}"(x_N)=0）としてしまう。→自由度0になり一意に決まる。

アルゴリズム

$(x_0,y_0),...,(x_N,y_N)$ を入力
$S_j(x)=a_j(x-x_j)^3+b_j(x-x_j)^2+c_j(x-x_j)+d_j$ とする
$\left\{\begin{matrix} h_j=x_{j+1}-x_j \\ v_j=6(\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}-\frac{y_j-y_{j-1}}{h_{j-1}}) \end{matrix}\right$
P47(3.32式)
$a_j...d_j$ は計算可能

h^2に比例した精度を確保することができる。