微分方程式(2)

数値解析

復習

差分方程式で解く

漸化式に変形

2階の常微分方程式

→連立1階常微分方程式として解く
y''+10y'+16y=0
\left\{ y'_1 = y_2 \\ y'_2 = f(t,y_1,y'_1) \right
これよりオイラー法で差分化すると
\left\{ \frac{1}{\delta t} \left( Y^{(1)}_{j+1} - Y^{(1)}_j \right) = Y^{(2)}_j \\ \frac{1}{\delta t} \left( Y^{(2)}_{j+1} - Y^{(2)}_j \right) = f\left(t_j,Y^{(1)}_j,Y^{(2)}_j \right) \right
Y^{(1)}_0=a_1,Y^{(2)}_0 =a_2
ルンゲクッタ法で差分化すると
\left\{ \frac{1}{\delta t} \left( Y^{(1)}_{j+1} - Y^{(1)}_j \right) = \frac{1}{6}\left\{ k^{(1)}_1 + 2k^{(1)}_2 + 2k^{(1)}_3 + k^{(1)}_4 \right\} \\ \frac{1}{\delta t} \left( Y^{(2)}_{j+1} - Y^{(2)}_j \right) = \frac{1}{6}\left\{ k^{(2)}_1 + 2k^{(2)}_2 + 2k^{(2)}_3 + k^{(2)}_4 \right\} \right
→高精度化

初期値問題と境界値問題

y"=f(x,y,y')→2つの定数を決める。

初期値
  • \left{y(0)=a_1 \\ y'(0)=a_2 \right を与えることによって解く

今までどおり

境界値
  • \left{y(0)=a_1 \\ y(1)=a_2 \right を与えることによって解く

一般的に書くと
y"=p(x)y'+q(x)y+r(y)
これを差分方程式とすると
\beta_j Y_{j-1} +\alpha_j Y_j + \gamma_j Y_{j+1} = d_jとなるYjに対する一次方程式が(N-1)個ある。

3重対角化行列となる
\begin{bmatrix} \alpha_1 & \gamma_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \beta_2 & \alpha_2 & \gamma_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \beta_2 & \alpha_2 & \gamma_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ 0&0&0&0 & \cdots & \beta_{N-1} & \alpha_{N-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ Y_3 \\ \vdots \\ Y_{N-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1-\beta_1 Y_0 \\ d_2 \\ d_3 \\ \vdots \\ d_{N-1} - \gamma_{N-1} Y_N \end{bmatrix}