6章信号処理のための諸変換

直交関数系

直交
$\int_a^b \phi_m(x) \phi_n*(x) dx = C \delta_{mn}$
C=1であるとき、正規直交関数系である

完備

任意の関数f(x)がφm(x)でフーリエ級数展開できる。

正規直交系列は次式を満たす
$\sum_n \phi_m(x) \phi_n*(x) = \delta_{mn}$
V=[φij] φij=φi(j)
$V=\begin{bmatrix} \phi_1(1) & \phi_1(2) & \cdots &\phi_1 (N) \\ \phi_2(1) & \phi_2(2) & \cdot &\phi_2 (N) \\ \vdots & & & \vdots \\ \phi_m(1) & \phi_m(2) & \cdots &\phi_m (N) \end{bmatrix}$
共役転置行列V*との関係は、VV*=I

直交（ユニタリ）変換

y=Vx,x=V*x

直交関数系の例

指数関数系
ラーデマッハ関数
- 1もしくは-1を取るような矩形の関数
ウォルシュ関数系
- ラーデマッハ関数を完備化した関数

離散コサイン変換（Discrete Cosine Transform）

http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/advanced/dct/
直交系列
$\left\{\frac{1}{\sqrt{2}} , cos \left[ \frac{(2m+1)k \pi}{2N} \right](k=1,2,...,N-1) \right}$

ウォルシュ・アダマール変換

http://www.science.aster.ersdac.or.jp/jp/glossary/jp/a1/hadamard.html
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